Funcion Exponencial y Logaritmica.

La Funcion Exponencial.

Definición.  Sea  un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia  se llama función exponencial de base a y exponente x.  Como  para todo ,la función exponencial es una función de  en .  En el siguiente teorema, se presentan las propiedades más importantes de la función exponencial.

La Funcion Logaritmica.

Definición. 

Sea a un real positivo fijo, y sea x cualquier real positivo, entonces:

La función que hace corresponder a cada número real positivo su logaritmo en base  , 

denotada por  ,se llama: función logarítmica de base a, y, el número  se llama logaritmo de x en la base a.
 

La definición anterior, muchas veces, se expresa diciendo que :el logaritmo de un número, en una base dada ,es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número. 

En el teorema siguiente, se presentan las propiedades más importantes de los logaritmos.
 

 Teorema ( Propiedades de los logarítmos )

Si a > 0, y b es cualquier real positivo, x e y reales positivos, entonces : 

. 

. 

Cuando a > 1 , si 0 < x < y , entonces,  .Es decir ,la función logarítmica de base a > 1 es estrictamente creciente en su dominio. 

Cuando 0 < a < 1, si 0 < x < y ,entonces,  .Esto es la función logarítmica de base entre 0 y 1; es estrictamente decreciente en su dominio. 

Para todo número real , existe un único número real  tal que . Esta propiedad indica que la función logarítmica es sobreyectiva .
 

. 

Si  , y, a != 0 , entonces, . (Invarianza)

Funciones Trigonometricas Directas e Inversas.

 Funciones trigonometricas Directas e Inversas.

Funciones trigonometricas directas.

El paso de la geometría a la trigonometría se da cuando decidimos asociar las razones de las longitudes de un triangulo a sus ángulos agudos interiores. Lo hacemos sin ninguna razón, solo por la ventaja que esto nos reporta. Se trata de una nueva construcción o herramienta matemática. Primero nos permitimos especificar la diferenciación de los catetos: el opuesto al ángulo y el adyacente que delimita a este junto con la hipotenusa, el lado mayor del triangulo rectángulo.

Como sabes, un triangulo posee tres lados, por ello en la construcción de los cocientes de estos existen tres posibles parejas.

Funciones trigonometricas inversas.

En trigonometría, cuando el ángulo se expresa en radianes (dado que un radián es el arco de circunferencia de longitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes; por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco, así si:

y=sen(x)

y es igual al seno de x, la función inversa:

x=arcsen (y)

x es el arco cuyo seno vale y, o también x es el arcoseno de y. Si:

y=cos(x)

y es igual al coseno de x, la función inversa:

x=arccos (y)

x es el arco cuyo coseno vale y, que se dice: x es el arcocoseno de y. Si:

y=tan(x)

y es igual al tangente de x, la función inversa:

x=arctan (y)

x es el arco cuya tangente vale y, ó x es igual al arcotangente de y.

Una función para que tenga inversa debe ser biyectiva, o sea inyectiva y epiyectiva. Se comprueba eso puedes hallarla. La funcion trigonometrica no es inyectiva, por lo tanto debes restringir el dominio para que lo sea.
Lo que indica una funcion inversa es cambiar el dominio por el recorrido.
Por ejemplo
y=sen(x) dom(y)=IR
Para que sea inyectiva Domy= (-pi/2,pi/2)
y: [-pi/2,pi/2]-------->IR
La inversa sería
IR--------->[-pi/2,pi/2]
x=seny
ahi tendrias que despejar y.

Si cambias el dominio por el recorrido y la función no es biyectiva entonces la inversa que no lo sería seria una relación y no una función.
Para que no te metan cuestiones en la cabeza las funciones inversas son arcotan, arcosen arcocosen, no cotangente secante y cosecante.

Derivadas Sucesivas.

Derivadas Sucesivas.

Función derivada y derivadas sucesivas.

Una función     es derivable en el intervalo     si lo es en cada punto de dicho intervalo.

Si     es una función derivable en el intervalo   , la función derivada de     es la que a cada     le hace corresponder la derivada de en dicho punto. Esta función se designa por   .

Llamamos derivada de segundo orden o derivada segunda de     a la función derivada de   . Esta función se denota por   .

Llamamos derivada de tercer orden o derivada tercera de     a la función derivada de   . Esta función se denota por   .

En general,   llamamos derivada n-ésima de     y la denotamos por     a la función derivada de   .

Así